Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Um einen Schritt weiter zu kommen, müssen wir neben einem reellen Vektoraum auch den

entsprechenden komplexen Vektoraum betrachten.

Das heißt also, wir müssen Vektoräume auch über andere Zahlmengen betrachten.

Das ist Anlass, das allgemein zu diskutieren, was ist überhaupt eine sinnvolle Forderung

für eine abstrakte Zahlmenge.

Das heißt, es werden einige Branchebegriffe jetzt eine Rolle spielen.

Wir werden also jetzt auf einen Begriff zusteuern, der schon das eine oder das andere Mal genannt

worden ist, den Sie vielleicht auch schon mal aus der Schule gehört haben, der in der

Nahles ist schon das ein oder andere Mal erwähnt worden ist.

Das können wir aber erst dann tun, wenn hier wieder alles zur Ruhe gekommen ist.

Und zwar ist das der Begriff des Körpers.

Das wird sozusagen abstrakt an die Stelle der reellen Zahlen im Begriff eines Vektoraums

führen.

Man sieht, das was wir jetzt machen, hätten wir auch gleich zu Anfang des Semesters machen

können.

Wir hätten also gleich auf dieser einigermaßen abstrakten, nicht sonderlich schwierigen,

aber doch abstrakten Ebene einsteigen können.

Wir, also der Herr Bart und ich, wir haben diesen Zugang nicht gewählt, sondern hat

ihn erst einmal gestartet mit reellen Vektorräumen in der Vorstellung, dass man mit den reellen

Zahlen eine gewisse Vorstellung verbindet, die ja dann auch insbesondere in der Analysis

dann mit Inhalt gefüllt wird.

Sie müssen selber beurteilen, ob das jetzt vom Vorteil war oder nicht.

Der Nachteil jedenfalls dieses Zugangs ist, dass wir uns dann noch einmal, wenn wir dann

auf der Stelle angekommen sind, dass wir dann von allgemeinen Vektorräumen über einen

Kpk sprechen, sozusagen die gesamte Theorie, die wir uns bis jetzt angeschaut haben, Revue

passieren lassen müssen und schauen, inwieweit gilt das denn jetzt alles noch, was gilt

eventuell nicht mehr in dieser Allgemeinheit.

Wir haben eine kleine Stelle ja schon mal gesehen, wo wir gesagt haben, vorsichtig, hier setzen

wir voraus, dass die zwei ein inverses hat.

Man kann allerdings da auch einen Alternativbeweis machen, also die Aussage selbst ist davon

noch nicht berührt.

Also das werden wir dann noch einmal, wir werden dann sozusagen noch einen Schnelldurchgang

durch die gesamte Theorie machen müssen.

Gut, wenn man jetzt mal zurückblickt, dann wird man sagen, okay, dass die reellen Zahlen

haben eigentlich, und Sie wissen ja mittlerweile auch, was die reellen Zahlen wirklich sind.

Das ist eine schon sehr reichhaltige Struktur, die auf der einen Seite den Algebra-Aspekt

hat, eben das Addieren und Multiplizieren.

Andererseits eben auch einen topologischen Aspekt und von diesem topologischen Aspekt

haben wir eigentlich gar nichts gebraucht.

Wir haben also nicht gebraucht, dass die reellen Zahlen zum Beispiel vollständig sind.

Wir hätten also alles, was wir gemacht haben, auch genauso in den rationalen Zahlen machen

können.

Und an dieser Beobachtung anknüpfen, wollen wir eben jetzt wie gesagt allgemein definieren,

was ein Körper sein soll.

Das ist unser abstrakter Zahlbegriff dran.

Und um da anzufangen, fangen wir mit einer noch einfacheren Struktur an.

Man könnte da noch einmal ein Stück runtergehen.

Das ist der Begriff der Gruppe.

Auch der ist uns jetzt schon mehrfach begegnet und ich habe immer gesagt, ignorieren Sie